Rozwiązywanie układów równań różniczkowych metodą operatorową (sprowadzanie układu równań do równania zwyczajnego rzędu wyższego)

Definicja 1:

Przez układ równań różniczkowych będziemy rozumieli dwa lub więcej równań zawierających pochodne dwóch lub więcej nieznanych funkcji jednej zmiennej.

Przykład 1:

Niech \( \hskip 0.3pc x_1, \hskip 0.3pc x_2,\hskip 0.3pc x_3\hskip 0.3pc \) będą funkcjami zmiennej \( \hskip 0.3pc t,\hskip 0.3pc \)to

(1)

\( \begin{cases}x_1^{\prime\prime}+2x_2^\prime+x_1-x_3=1 & \\x_2^{\prime\prime}+x_1^{\prime\prime}-x_1+x_2+x_3^\prime=t & \\ 2x_3^{\prime\prime}+x_2^\prime-x_1^\prime+x_3=0 &\end{cases} \)

jest układem równań różniczkowych o niewiadomych funkcjach \( \hskip 0.3pc x_1,\hskip 0.3pc x_2,\hskip 0.3pc x_3\hskip 0.3pc \).

Przez \( \hskip 0.3pc D\hskip 0.3pc \) będziemy oznaczać operator różniczkowania - przyporządkowujący funkcji \( \hskip 0.3pc x(t)\hskip 0.3pc \) jej funkcję pochodną: \( \hskip 0.3pc Dx(t):=x^\prime(t).\hskip 0.3pc \)
Przez \( \hskip 0.3pc D^k\hskip 0.3pc \) będziemy oznaczać \( \hskip 0.3pc k\hskip 0.3pc \)-krotne złożenie operatora \( \hskip 0.3pc D\hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc D^kx(t):=x^{(k)}(t).\hskip 0.3pc \)
Jeżeli \( \hskip 0.3pc L\hskip 0.3pc \) jest operatorem określonym następująco

(2)

\( L:=a_kD^k+a_{k-1}D^{k-1}+\cdots +a_1D+a_0 \)

gdzie \( \hskip 0.3pc a_0,\ldots,a_k\hskip 0.3pc \)-są to dowolne stałe, to dla dowolnej funkcji \( \hskip 0.3pc x(t)\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc k\hskip 0.3pc \)-krotnie różniczkowalnej mamy:

\( Lx(t)=a_kD^kx(t)+a_{k-1}D^{k-1}x(t)+\cdots +a_1Dx(t)+a_0x(t)=a_kx^{(k)}(t)+\cdots +a_1x^\prime(t)+a_0x(t). \)

Uwaga 1:

Składanie operatorów postaci

\( L_1=a_kD^k+a_{k-1}D^{k-1}+\cdots +a_1D+a_0, \hskip 1pcL_2=b_nD^n+b_{n-1}D^{n-1}+\cdots +b_1D+b_0 \)

jest przemienne :

\( L_1\circ L_2=L_2\circ L_1. \)

Przykład 2:

Dla operatorów \( \hskip 0.3pc L_1=D^2-D+1\hskip 0.3pc \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc \hskip 0.3pc L_2=D+2\hskip 0.3pc \) wyznaczamy złożenia:

\( L_1\circ L_2=(D^2-D+1)\circ (D+2)=D^3+2D^2-D^2-2D+D+2=D^3+D^2-D+2, \)

\( L_2\circ L_1=(D+2)\circ (D^2-D+1)=D^3-D^2+D+2D^2-2D+2=D^3+D^2-D+2 \)

stąd wynika, że \( L_1\circ L_2=L_2\circ L_1. \)

Stosując powyższe oznaczenia układ równań ( 1 ) można zapisać następująco:

(3)

\( \begin{cases}L_{11}x_1+L_{12}x_2+L_{13}x_3=1 & \\L_{21}x_1+L_{22}x_2+L_{23}x_3=t & \\ L_{31}x_1+L_{32}x_2+L_{33}x_3=0 &\end{cases} \)

gdzie : \( \hskip 0.3pc L_{11}=D^2+1, \hskip 0.3pc L_{12}=2D, \hskip 0.3pc L_{13}=-1, \hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc L_{21}=D^2-1,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc L_{22}=D^2+1, \hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc L_{23}=D,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc L_{31}=-D,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc L_{32}=D,\hskip 0.3pc L_{33}=2D^2+1.\hskip 0.3pc \)
Omówimy teraz rozwiązywanie układów równań postaci:

(4)

\( \begin{cases}L_{11}x_1+L_{12}x_2+\cdots +L_{1n}x_n=f_1(t)&\\ \vdots &\\L_{n1}x_1+L_{n2}x_2+\cdots +L_{nn}x_n=f_n(t)&\end{cases} \)

gdzie operatory \( \hskip 0.3pc L_{ij}\hskip 0.3pc \) są postaci ( 2 )
Powyższy układ rozwiązuje się podobnie jak układ równań liniowych, z wykorzystaniem wzorów Cramera:

(5)

\( Wx_i=W_i, \hskip 1pc i=1,\ldots ,n \)

gdzie

\( \begin{matrix} \hskip 3.6pc i \\ W_i=\det\begin{bmatrix} L_{11}&\ldots &f_1(t)\ldots &L_{1n}\\ \vdots &&\vdots &\vdots\\L_{n1} &\ldots &f_n(t)\ldots & L_{nn}\end{bmatrix},\end{matrix} \)

\( W=\det \begin{bmatrix} L_{11}&\ldots &L_{1n}\\ \vdots &\ddots & \vdots \\ L_{n1} &\ldots & L_{nn}\end{bmatrix}. \)

Mnożeniu elementów przy liczeniu wyznacznika \( W \) odpowiada złożenie operatorów. Przy liczeniu wyznaczników \( \hskip 0.3pc W_i\hskip 0.3pc \) najpierw składamy odpowiednie operatory, a następnie wyliczamy wartość tak otrzymanego operatora dla funkcji \( \hskip 0.3pc f_k(t)\hskip 0.3pc \). Na przykład mnożąc elementy na przekątnej dostajemy :

\( L_{nn}\circ \cdots \circ L_{i+1i+1}\circ L_{i-1i-1}\circ \cdots \circ L_{11}(f_i(t)). \)

Pokażemy prawdziwość wzorów ( 4 ) dla \( \hskip 0.3pc n=2\hskip 0.3pc \).
Rozważmy układ równań

(6)

\( \begin{cases}L_{11}x_1+L_{12}x_2=f_1(t) & \\ L_{21}x_1+L_{22}x_2=f_2(t).&\end{cases} \)

Pierwsze równanie układu ( 6 ) obkładamy obustronie operatorem \( \hskip 0.3pc L_{22}\hskip 0.3pc \) a drugie operatorem \( \hskip 0.3pc L_{12}\hskip 0.3pc \) i otrzymujemy następujący układ równań:

\( \begin{cases}L_{22}\circ L_{11}x_1+L_{22}\circ L_{12}x_2=L_{22}f_1(t) & \\L_{12}\circ L_{21}x_1+L_{12}\circ L_{22}x_2=L_{12}f_2(t). & \end{cases} \)

Uwzględniając fakt, że \( \hskip 0.3pc L_{22}\circ L_{12}=L_{12}\circ L_{22}\hskip 0.3pc \) i po odjęciu tych równań stronami,

dostajemy równanie różniczkowe zwyczajne o stałych współczynnikach odpowiedniego rzędu zmiennej \( \hskip 0.3pc x_1\hskip 0.3pc \):

\( (L_{22}\circ L_{11}-L_{12}\circ L_{21})x_1=L_{22}f_1(t)- L_{12}f_2(t). \)

Stąd mamy

\( \det \begin{bmatrix} L_{11}&L_{12}\\L_{21} & L_{22}\end{bmatrix}x_1=\det\begin{bmatrix}f_1(t) &L_{12}\\ f_2(t) &L_{22}\end{bmatrix} \Longleftrightarrow Wx_1=W_1. \)

Analogicznie jeżeli pierwsze równanie układu ( 6 ) obłożymy obustronnie operatorem \( \hskip 0.3pc L_{21}\hskip 0.3pc \) a drugie \( \hskip 0.3pc L_{11}\hskip 0.3pc \) i odejmiemy stronami to otrzymamy

\( (L_{22}\circ L_{11}-L_{12}\circ L_{21})x_2=L_{11}f_2(t)- L_{21}f_1(t). \)

Stąd mamy

\( \det\begin{bmatrix} L_{11}&L_{12}\\L_{21} & L_{22}\end{bmatrix}x_2=\det\begin{bmatrix}L_{11} & f_1(t)\\L_{21} & f_2(t)\end{bmatrix} \Longleftrightarrow Wx_2=W_2. \)

Zauważmy, że równania charakterystyczne

\( Wx_1=0, \hskip 1pc Wx_2=0 \)

dla obu równań

\( Wx_1=W_1, \hskip 1pc Wx_2=W_2 \)

są takie, same.

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Rozwiązywanie układów równań różniczkowych metodą operatorową (sprowadzanie układu równań do równania zwyczajnego rzędu wyższego)

Definicja 1:

Przykład 1:

Uwaga 1:

Przykład 2: